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Primero llamamos $y=f(x)$ y luego intercambiamos $x$ y $y$:
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Matemática 51
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la función inversa $f^{-1}$. Dar su dominio y su imagen.
d) $f(x)=1+\ln (2 x+3)$
d) $f(x)=1+\ln (2 x+3)$
Respuesta
Hallemos la función inversa:
$y = 1 + \ln(2x+3)$
$x = 1 + \ln(2y+3)$
Despejamos $y$:
$x - 1 = \ln(2y+3)$
$e^{x-1} = 2y + 3$
$e^{x-1} -3 = 2y$
$\frac{1}{2}(e^{x-1} -3) = y$
• $ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} -3)$
Hallemos el dominio de imagen de la función inversa:
$f^{-1}$ no presenta restricciones de dominio, por lo tanto:
• $Dom\ f^{-1}: \mathbb{R}$
La imagen de $f^{-1}$ corresponde al dominio de $f$, que son todos los valores de $x$ para los que $2x + 3 > 0$ o $x > -\frac{3}{2}$.
• $Im\ f^{-1}: \mathbb{R} > -\frac{3}{2}$